Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?
Решение.
Предположим противное, и пусть AB – наибольшая сторона многоугольника, CD – наименьшая диагональ ( AB и CD могут иметь один общий конец), E – вершина, лежащая от CD по другую сторону, чем A и B. Тогда, так как AE меньше или равно AB и BE меньше или равно AB , угол AEB больше или равно 60 градусов. С другой стороны, так как CE больше или равно CD и DE больше или равно CD , угол CED меньше или равно 60 градусов. Но угол CED> угла AEB – противоречие.
Ответ: нет.
Решение.
Предположим противное, и пусть AB – наибольшая сторона многоугольника, CD – наименьшая диагональ ( AB и CD могут иметь один общий конец), E – вершина, лежащая от CD по другую сторону, чем A и B. Тогда, так как AE меньше или равно AB и BE меньше или равно AB , угол AEB больше или равно 60 градусов. С другой стороны, так как CE больше или равно CD и DE больше или равно CD , угол CED меньше или равно 60 градусов. Но угол CED> угла AEB – противоречие.
Комментариев нет:
Отправить комментарий