Задача 9

Два двузначных числа, записанных одно за другим, образуют четырёхзначное число, которое делится на их произведение. Найти эти числа.

Показать ответ

17 и 34, 13 и 52.

Показать решение

Пусть a и b – два двузначных числа, тогда 100a+b – четырёхзначное число. По условию 100a+b = k·ab, отсюда b = a(kb–100), то есть b делится на a. Итак, b = ma, но a и b двузначные числа, поэтому m однозначное. Так как 100a+b = 100a+ ma = а(100+m) и 100a+b = kab, то а(100+m) = kab, то есть 100+m = kb или 100+m = kma, откуда 100 = m(ka–1). Таким образом, m – делитель числа 100, кроме того, m – однозначное число, значит, m = 1, 2, 4, 5. Так как ka = 1+100/m, причём а двузначно, то отпадают для m значения 1 и 5, ибо при m = 1 число 100/1+1 = 101 не делится ни на какое двузначное число а; при m = 5 число 100/5+1 = 21 и имеем а=21, при котором b = ma = 5·21 – трёхзначное число. При m = 2 имеем, ka = 51, a = 17, b = 17·2 = 34; при m = 4 имеем, ka = 26, a = 13, b = 13·4 = 52.