Задача 7

Среди любых десяти из шестидесяти ребят найдутся трое одноклассников. Докажите, что среди всех них найдутся 15 одноклассников.

Показать доказательство

Разделим ребят на группы одноклассников. Предположим, что в каждой группе не более 14 ребят. Тогда в четырех самых больших по количеству группах не более 4·14 = 56 ребят. Если в каждой из этих групп не менее двух человек, то можно взять по два школьника из этих четырех групп и добавить двух школьников из оставшихся (их не менее 60 – 56 = 4). Среди этих 10 школьников нет трех одноклассников, что противоречит условию. Если хотя бы в одной из этих четырех групп меньше двух человек, то имеется не менее 60 – 3·14 = 18 школьников, которые учатся в разных классах. Это также противоречит условию.