Задача 6

Четыре кузнечика сидят в вершинах квадрата. Каждую минуту один из них прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика. Докажите, что кузнечики не могут в некоторый момент оказаться в вершинах квадрата большего размера.
Доказательство.
 
1) Представим себе, что квадрат, в вершинах которого сидят кузнечики — это квадрат клетчатой бумаги (размер квадрата — 1×1). Заметим, что кузнечики всегда прыгают по вершинам клеток: если на клетчатой бумаге поместить кузнечиков в вершины клеток (эти вершины называются узлами квадратной сетки), то после каждого прыжка каждый кузнечик снова попадет в некоторый узел квадратной сетки (рис.). Дело в том, чтопрыжок эквивалентен центральной симметрии одного кузнечика относительно другого, а квадратная сетка центрально симметрична относительно любого своего узла. 
2) Предположим, что кузнечики сумели попасть в вершины большего квадрата, тогда, прыгая в обратном порядке, они должны попасть в вершины меньшего. Но, начиная прыгать из вершин большего квадрата, они всегда будут попадать в узлы сетки, состоящей из больших квадратов. Иначе говоря, расстояние между ними не может быть меньше, чем сторона большого квадрата. Противоречие.