Задача 5

Мальчик и девочка по очереди кладут пятирублёвые монеты на стол симметричной формы, причём так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет — мальчик, который начинает игру, или девочка?
Решение. 
В этой игре побеждает мальчик. Первым ходом он кладёт монету так, чтобы её центр и центр симметрии стола совпали. После этого на каждый ход девочки мальчик отвечает ходом, восстанавливающим симметрию относительно центра стола. Отметим, что при такой стратегии после каждого хода первого игрока (мальчика) позиция симметрична. Поэтому, если возможен очередной ход второго игрока, то возможен и симметричный ему ответный ход первого. Следовательно, если мальчик будет придерживаться указанной стратегии, то он выиграет.
Примечание 1.
При доказательстве правильности симметричной стратегии нельзя забывать о том, что очередному симметричному ходу может помешать ход, только что сделанный противником. Чтобы решить игру-задачу при помощи симметричной стратегии, необходимо найти симметрию, при которой только что сделанный противником ход не препятствует осуществлению избранного плана. 
Примечание 2.
В случае, когда симметричность многовариантна, для решения задачи нужно правильно выбрать центр или ось симметрии. Продемонстрируем это на следующем примере. 
Ответ: мальчик.