Задача 4

Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа k имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на k.

Показать доказательство

Пусть A и B – множества соответственно синих и красных точек. Предположим утверждение задачи неверно. Тогда найдется такое натуральное число a, что A содержит лишь конечное число точек с координатами, кратными a. Также найдется такое натуральное число b, что B содержит лишь конечное число точек с координатами, кратными b. Но тогда A ∪ B содержит лишь конечное число точек, с координатами, кратными ab. Противоречие, так как число таких точек бесконечно.