Задача 14

Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника. Докажите, что данный треугольник равносторонний.
Доказательство.
Предположим противное. Пусть в треугольнике ABC угол A равен 60°, BC = a, AB = a – x, тогда AC = a + x. Выберем на луче AB точку B', а на луче AC точку C' так, что AB' = AC' = a. 

Треугольник AB'C' – равнобедренный с углом 60°. Поэтому он является и равносторонним, то есть B'C' = a. Осталось заметить, что треугольники BC'B' и C'BC равны по трём сторонам. Поэтому ∠BCC' = ∠C'B'B= 60°. Таким образом, в треугольнике ABC угол C тоже равен 60°, то есть он равносторонний .