Задача 3

2000 яблок лежат в нескольких корзинах. Разрешается убирать корзины и вынимать яблоки из корзин. Доказать, что можно добиться того, чтобы во всех оставшихся корзинах было поровну яблок, а общее число яблок было не меньше 100.

Показать доказательство

Предположим, что утверждение неверно. Тогда в каждой корзине меньше 100 яблок (иначе можно оставить одну корзину со 100 яблоками) и непустых корзин меньше 100 (иначе можно оставить 100 корзин по 1 яблоку в каждой). Кроме того, корзин, где не менее 10 яблок меньше 10 (иначе можно оставить 10 корзин по 10 яблок). Значит, яблок не больше 91·9 + 9·99 < 2000.· Противоречие.