Задача 4

Докажите, что при любом натуральном n число 55n+1 + 45n+2 + 35n делится на 11.

Показать доказательство

Первоначально выполним следующее преобразование заданного выражения: 55n+1+45n+2+35n = 5(3125)n + 16(1024)n + (243)n = 5(11·284+1)n + 16(11·93+1)n + (11·22+1)n. Принимая во внимание бином Ньютона n-й степени, можно записать: (х+1)n = Ах+1, где А – некоторое целое число при целых х. Тогда приведённое выше выражение принимает вид 11В+5+16+1 = 11С, очевидно делящееся на 11, где В и С – некоторые целые числа.