Задача 16

Найдите все целые k, для которых k^5+3 делится на k^2+1.

Показать ответ

–3, –1, 0, 1, 2.

Показать решение

Так как k^5+3 = (k^3–k)( k^2+1) + (k+3), то k^5+3 делится на k^2+1, если k+3 делится на k^2+1. Когда это возможно? Рассмотрим варианты: 1) k+3 = 0, а значит k = –3; 2) k+3 = k^2+1; решая, находим k = –1, k = 2; 3) проверим целые k при которых k+3 > k^2+1; после проверки: k = 0, k = 1.