Задача 15

Найдите наименьшее натуральное число, дающее следующие остатки: 1 — при делении на 2, 2 — при делении на 3, 3 — при делении на 4, 4 — при делении на 5, 5 — при делении на 6.

Показать ответ

59

Показать решение

Рассмотрим искомое число, увеличенное на единицу. Оно делится на 2,3,4,5,6, т.к. оно дает остатки, меньшие на единицу, чем сами делители. Нам необходимо найти минимальное такое число, следовательно, искомое число есть наименьшее общее кратное чисел 2,3,4,5,6 минус 1. Наименьшее общее кратное 2,3,4,5,6 равно 22⋅3⋅5=60 , т.к. в числах 2,3,4,5,6 есть только 3 простых делителя, тройка и пятерка входят максимум в первой степени, а двойка во второй (в числе 4). Значит, искомое число равно 60−1 = 59.