Задача 13

За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа – мальчики.

Показать доказательство

Предположим, что это не так. Тогда нигде рядом не сидят больше двух мальчиков и рядом с девочкой всегда сидит хотя бы одна девочка. Разобьем всех сидящих за столом на группы рядом сидящих мальчиков и группы рядом сидящих девочек. Эти группы чередуются, поэтому количество групп мальчиков и групп девочек одинаково. Как мы только что заметили, в каждой группе мальчиков находится не более двух ребят, а в каждой группе девочек – не менее двух. Поэтому все эти группы состоят ровно из двух человек (иначе мальчиков меньше, чем девочек). Но тогда этих групп 25 – нечётное число. Противоречие.