Задача 12

Существуют ли такие натуральные nn, что n^2+n+1 делится на 2014?

Показать решение

Заметим, что n^2 + n = n(n+1) делится на 2, поскольку является произведением двух подряд идущих чисел, а значит n^2+n+1 всегда нечетно (также это можно было заметить, используя малую теорему Ферма: n^2 + n + 1 ≡ n + n+1 = 2n + 1 ≡1 (mod 2). Поскольку число 2014 четное, то не существует таких n, что число n^2 +n+1 делится на 2014 (если бы такие n существовали, то это бы противоречило тому, что n^2+n+1 — нечетное).